Preriscaldare il forno a 400F.

In una piccola ciotola, schiacciare l'aglio e il sale fino a formare una pasta, usando il dorso di un cucchiaio. Mescolare con pepe e timo.

Con un coltello affilato, rimuovere il grasso in eccesso dal pollo. Asciugare l'interno con un panno di carta. Con le dita, allentare la pelle dei petti e delle cosce per creare delle tasche, facendo attenzione a non strappare la pelle. Strofinare la miscela di aglio sulla carne del petto e delle cosce.

Scaldare l'olio e 1 cucchiaino di burro in una padella di ghisa da 12 pollici a fuoco medio. Aggiungere il pollo e cuocere, girando spesso, finché non è ben rosolato su tutti i lati, circa 10 minuti.

Trasferire la teglia nel forno e arrostire il pollo fino a quando la temperatura interna della parte più spessa della coscia raggiunge i 165F, da 50 minuti a 1 ora. Trasferire il pollo su un tagliere pulito; coprire con un foglio di alluminio.

Nel frattempo, schiacciare il restante 1 cucchiaino di burro e la farina in una piccola ciotola fino a formare una pasta. Mettere la padella (attenzione, il manico sarà bollente) a fuoco medio-alto. Aggiungere il brodo e portare a ebollizione, mescolando per eliminare eventuali pezzi rosolati. Aggiungere gradualmente la pasta di burro e farina, pochi pezzetti alla volta, finché il sugo non si addensa, circa 8 minuti. Togliere dal fuoco e lasciare riposare per 5 minuti, lasciando che il grasso salga in superficie. Eliminare il grasso con un cucchiaio. Tagliare il pollo e servirlo con la salsa. Guarnire con prezzemolo, se si desidera.